Stationary states for a two-dimensional singular Schrödinger equation

In questo articolo studiamo problemi di Dirichlet singolari, lineari e semilineari, della forma $-|x|^2\Delta u=f(u)$ in $\Omega$, $u=0$ su $\partial\Omega$, dove $\Omega$ \`e un dominio in $\mathbb{R}^{2}$ e $f(u)=\lambda u$ o $f(u)=\lambda u+|u|^{p-2}u$ con $p>2$ (o nonlinearit\`a pi\`u generali). In tali problemi bidimensionali emergono alcune difficolt\`a a causa della non validit\`a della disuguaglianza di Hardy in $\mathbb{R}^{2}$ e a causa delle invarianze dell'equazione $-|x|^2\Delta u=f(u)$. Pertanto opportune condizioni su $\lambda$ e $\Omega$ sono necessarie al fine di garantire l'esistenza di una soluzione positiva. Per esempio, se $\Gamma_{0}$ \`e una curva non costante passante per l'origine e $\Gamma_{\infty}$ \`e una curva non limitata, allora la disuguaglianza di Hardy vale su qualunque dominio $\Omega$ contenuto in $\mathbb{R}^{2}\setminus(\Gamma_{0}\cup\Gamma_{\infty})$ e si possono ottenere alcuni risultati di esistenza.