Uno spazio topologico viene detto KC se ogni suo sottinsieme compatto (non necessariamente di Hausdorff) è chiuso. La proprietà KC, quindi, è evidentemente implicata dall'assioma di Hausdorff, mentre a sua volta implica la proprietà T1 (dato che in generale il singoletto di ogni punto è sempre compatto, e quindi in uno spazio KC esso risulta esssere chiuso). In questo senso, la proprietà KC può essere considerata come un assioma di separazione intermedio tra T1 e Hausdorff. Nell'articolo viene affrontata e risolta (in positivo) una questione posta per la prima volta da R. Larson nel 1973, cioè se ogni topologia KC su un insieme X, la quale risulti essere minimale fra tutte le topologie KC definite su X, debba essere compatta (anche in questo caso, non necessariamente Hausdorff). Poiché l'implicazione inversa (com'è facile verificare) è ugualmente valida, si ottiene una perfetta coincidenza tra compattezza e minimalità nell'ambito delle topologie KC. Questo risultato si accorda molto bene con la posizione intermedia occupata dalla proprietà KC tra T1 e Hausdorff. Infatti, se da un lato la compattezza risulta essere troppo restrittiva per poter caratterizzare la minimalità nella collezione delle topologie di Hausdorff su un insieme (in quanto ogni topologia H-chiusa e semiregolare risulta essere minimale), da un altro lato la compattezza è troppo debole per implicare la minimalità nella collezione di tutte le topologie T1 su un insieme (dove l'unica topologia minimale, e in realtà anche minima, è la cofinita).
Minimal KC spaces are compact
COSTANTINI, Camillo
2008-01-01
Abstract
Uno spazio topologico viene detto KC se ogni suo sottinsieme compatto (non necessariamente di Hausdorff) è chiuso. La proprietà KC, quindi, è evidentemente implicata dall'assioma di Hausdorff, mentre a sua volta implica la proprietà T1 (dato che in generale il singoletto di ogni punto è sempre compatto, e quindi in uno spazio KC esso risulta esssere chiuso). In questo senso, la proprietà KC può essere considerata come un assioma di separazione intermedio tra T1 e Hausdorff. Nell'articolo viene affrontata e risolta (in positivo) una questione posta per la prima volta da R. Larson nel 1973, cioè se ogni topologia KC su un insieme X, la quale risulti essere minimale fra tutte le topologie KC definite su X, debba essere compatta (anche in questo caso, non necessariamente Hausdorff). Poiché l'implicazione inversa (com'è facile verificare) è ugualmente valida, si ottiene una perfetta coincidenza tra compattezza e minimalità nell'ambito delle topologie KC. Questo risultato si accorda molto bene con la posizione intermedia occupata dalla proprietà KC tra T1 e Hausdorff. Infatti, se da un lato la compattezza risulta essere troppo restrittiva per poter caratterizzare la minimalità nella collezione delle topologie di Hausdorff su un insieme (in quanto ogni topologia H-chiusa e semiregolare risulta essere minimale), da un altro lato la compattezza è troppo debole per implicare la minimalità nella collezione di tutte le topologie T1 su un insieme (dove l'unica topologia minimale, e in realtà anche minima, è la cofinita).
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