Reviewed by J.-P. Jouanolou MR530995: Soit X une hypersurface cubique de P4 k (k corps alg´ebriquement clos, car(k) 6= 2), admettant pour seule singularit´e un point double ordinaire. L’auteur et J. P. Murre ont montr´e [Nederl. Akad.Wetensch. Indag. Math. 40 (1978), no. 1, 43–71; MR0498604 (58 #16694a),b] que la vari´et´e de Prym J(X) n’est autre, dans le cas complexe, que la jacobienne interm´ediaire g´en´eralis´ee de X, telle qu’elle a ´et´e d´efinie par Griffiths. De plus, notant ˜X la d´esingularisation de X obtenue en ´eclatant le point double, ils ont prouv´e que J(X) ' A2(˜X ), o`u A d´esigne l’anneau de Chow. Le propos du pr´esent article est de donner une interpr´etation analogue au niveau de X: J(X) ' A2(X), avec une d´efinition convenable de A2(X). De fac¸on pr´ecise, pour toute vari´et´e T et tout entier i 1, l’auteur d´efinit Ai(T) comme noyau du morphisme canonique griK·(T) ! griK· alg(T), o`u les gradu´es sont pris pour la -filtration. La majeure partie de l’article est consacr´ee au clacul de laKth ´eorie alg´ebrique de l’´eclate´e d’une vari´et´e lisse de dimension 3 suivant une courbe r´eguli`erement immerg´ee n’admettant comme singularit´es que des points doubles ordinaries, et il y est prouv´e que le r´esultat est le mˆeme que lorsque la courbe est lisse. Pour ce faire, l’auteur pr´ecise le lien entre la -filtration et la filtration “topologique” de la K-th´eorie alg´ebrique; il exhibe, lorsque i est strictement sup´erieur `a la codimension du lieu singulier, un syst`eme de g´en´erateurs de Fi K, et r´epond au passage `a une question de Grothendieck, dans le cas non singulier. Par ailleurs, un point crucial est de d´emontrer que dans un cas particulier l’image directe pour une immersion r´eguli`ere est compatible avec la -filtration; pour cela, il doit notamment utiliser le th´eor`eme de Riemann- Roch sans d´enominateurs ´etabli par le rapporteur [Invent. Math. 11 (1970), 15–26; MR0332789 (48 #11115)]. Reviewed by J.-P. Jouanolou
Grothendieck’s K-theory and the cubic threefold with one ordinary double point.
COLLINO, Alberto
1979-01-01
Abstract
Reviewed by J.-P. Jouanolou MR530995: Soit X une hypersurface cubique de P4 k (k corps alg´ebriquement clos, car(k) 6= 2), admettant pour seule singularit´e un point double ordinaire. L’auteur et J. P. Murre ont montr´e [Nederl. Akad.Wetensch. Indag. Math. 40 (1978), no. 1, 43–71; MR0498604 (58 #16694a),b] que la vari´et´e de Prym J(X) n’est autre, dans le cas complexe, que la jacobienne interm´ediaire g´en´eralis´ee de X, telle qu’elle a ´et´e d´efinie par Griffiths. De plus, notant ˜X la d´esingularisation de X obtenue en ´eclatant le point double, ils ont prouv´e que J(X) ' A2(˜X ), o`u A d´esigne l’anneau de Chow. Le propos du pr´esent article est de donner une interpr´etation analogue au niveau de X: J(X) ' A2(X), avec une d´efinition convenable de A2(X). De fac¸on pr´ecise, pour toute vari´et´e T et tout entier i 1, l’auteur d´efinit Ai(T) comme noyau du morphisme canonique griK·(T) ! griK· alg(T), o`u les gradu´es sont pris pour la -filtration. La majeure partie de l’article est consacr´ee au clacul de laKth ´eorie alg´ebrique de l’´eclate´e d’une vari´et´e lisse de dimension 3 suivant une courbe r´eguli`erement immerg´ee n’admettant comme singularit´es que des points doubles ordinaries, et il y est prouv´e que le r´esultat est le mˆeme que lorsque la courbe est lisse. Pour ce faire, l’auteur pr´ecise le lien entre la -filtration et la filtration “topologique” de la K-th´eorie alg´ebrique; il exhibe, lorsque i est strictement sup´erieur `a la codimension du lieu singulier, un syst`eme de g´en´erateurs de Fi K, et r´epond au passage `a une question de Grothendieck, dans le cas non singulier. Par ailleurs, un point crucial est de d´emontrer que dans un cas particulier l’image directe pour une immersion r´eguli`ere est compatible avec la -filtration; pour cela, il doit notamment utiliser le th´eor`eme de Riemann- Roch sans d´enominateurs ´etabli par le rapporteur [Invent. Math. 11 (1970), 15–26; MR0332789 (48 #11115)]. Reviewed by J.-P. Jouanolou
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