Dato un insieme X, si consideri la collezione di tutte le topologie definite su X, e le sottocollezioni delle topologie che risultino essere, rispettivamente, Hausdorff, o regolari, o localmente compatte. Su ciascuna di tali (sotto)collezioni viene introdotto l'ordine parziale corrispondente alla relazione di finezza fra topologie; si definisce quindi, sempre su ciascuna di esse, il concetto di "gap", inteso come coppia di topologie appartenenti alla collezione in questione, le quali siano l'una strettamente meno fine dell'altra e tali che non esista alcuna topologia appartenente alla collezione che sia (strettamente) più fine della prima e meno fine della seconda. A questo punto, una topologia viene detta "inferiore" all'interno di una delle collezioni summenzionate, se esiste un'altra topologia strettamente più fine, appartenente alla collezione stessa, insieme alla quale essa formi un gap; e, analogamente, una topologia viene detta "superiore" se esiste nella collezione considerata un'altra topologia strettamente meno fine, insieme alla quale essa formi un gap. Nell'articolo vengono fornite delle risposte (complete o parziali) a questioni relative al concetto di topologia superiore e inferiore, poste in differenti articoli da O.T. Alas, N. Carlson, S. Hernandez, M. Sanchis, M. G. Tkachenko e R. G. Wilson. In particolare, si dimostra che: (1) una topologia di Hausdorff pseudoradiale, e una topologia regolare numerabilmente compatta, definite su un insieme X, non possono essere inferiori nella collezione di tutte le topologie di Hausdorff su X; (2) esiste una topologia localmente compatta τ, definita sul semipiano reale superiore X e strettamente più fine della topologia euclidea σ su X, tale che (σ,τ) forma un gap nella collezione Σ di tutte le topologie localmente compatte (di Hausdorff) su X, e tale che τ differisce da σ in ogni punto del tipo (x,0) con x∈R; (3) ogni topologia completamente regolare su un insieme X, la quale non sia minimale nella collezione di tutte le topologie regolari su X, risulta essere superiore in tale collezione; (4) assumendo l'ipotesi del continuo, esiste una topologia di Hausdorff τ sull'intervallo I=[0,1], tale che τ è strettamente più fine della topologia euclidea su I, e τ non è superiore nella collezione di tutte le topologie di Hausdorff su I.
On some questions about posets of topologies on a fixed set.
COSTANTINI, Camillo
2008-01-01
Abstract
Dato un insieme X, si consideri la collezione di tutte le topologie definite su X, e le sottocollezioni delle topologie che risultino essere, rispettivamente, Hausdorff, o regolari, o localmente compatte. Su ciascuna di tali (sotto)collezioni viene introdotto l'ordine parziale corrispondente alla relazione di finezza fra topologie; si definisce quindi, sempre su ciascuna di esse, il concetto di "gap", inteso come coppia di topologie appartenenti alla collezione in questione, le quali siano l'una strettamente meno fine dell'altra e tali che non esista alcuna topologia appartenente alla collezione che sia (strettamente) più fine della prima e meno fine della seconda. A questo punto, una topologia viene detta "inferiore" all'interno di una delle collezioni summenzionate, se esiste un'altra topologia strettamente più fine, appartenente alla collezione stessa, insieme alla quale essa formi un gap; e, analogamente, una topologia viene detta "superiore" se esiste nella collezione considerata un'altra topologia strettamente meno fine, insieme alla quale essa formi un gap. Nell'articolo vengono fornite delle risposte (complete o parziali) a questioni relative al concetto di topologia superiore e inferiore, poste in differenti articoli da O.T. Alas, N. Carlson, S. Hernandez, M. Sanchis, M. G. Tkachenko e R. G. Wilson. In particolare, si dimostra che: (1) una topologia di Hausdorff pseudoradiale, e una topologia regolare numerabilmente compatta, definite su un insieme X, non possono essere inferiori nella collezione di tutte le topologie di Hausdorff su X; (2) esiste una topologia localmente compatta τ, definita sul semipiano reale superiore X e strettamente più fine della topologia euclidea σ su X, tale che (σ,τ) forma un gap nella collezione Σ di tutte le topologie localmente compatte (di Hausdorff) su X, e tale che τ differisce da σ in ogni punto del tipo (x,0) con x∈R; (3) ogni topologia completamente regolare su un insieme X, la quale non sia minimale nella collezione di tutte le topologie regolari su X, risulta essere superiore in tale collezione; (4) assumendo l'ipotesi del continuo, esiste una topologia di Hausdorff τ sull'intervallo I=[0,1], tale che τ è strettamente più fine della topologia euclidea su I, e τ non è superiore nella collezione di tutte le topologie di Hausdorff su I.
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