Extensions of functions which preserve the continuity on the original domain.

L'articolo affronta un argomento classico, quello dell'estensione di funzioni continue, in un'ottica apparentemente non trattata in precedenza. Si tratta di stabilire delle condizioni sufficienti e necessarie affinché una funzione continua da un sottinsieme A di uno spazio topologico X ad uno spazio Y ammetta un'estensione che rimane continua su tutti i punti di A, ma non necessariamente sull'intero X. Nel caso in cui due spazi X,Y siano tali che questa proprietà vale per ogni A sottinsieme di X ed ogni f continua da A a Y, la coppia (X,Y) viene detta "buona"; nell'articolo si aprofondisce in particolare lo studio del caso in cui X e Y siano metrizzabili e separabili. Il quadro globale dei risultati si delinea quindi seguendo il filo di un'analisi relativa alle caratteristiche topologiche dei due spazi in questione. Mentre, da un lato, per lo spazio Y appaiono determinanti proprietà legate in qualche modo alla completezza (il fatto di contenere come sottospazio una copia della retta irrazionale, oppure di essere uno spazio ereditariamente di Baire), per quanto riguarda X i concetti cruciali che intervengono sono quelli di Q-spazio, λ-spazio e σ-spazio (si tratta, in ciascuno dei tre casi, di spazi in cui vi è una ''nutrita" presenza di sottinsiemi G_δ, fra tutti i sottinsiemi dello spazio in questione). Lo schema presentato dopo il Corollario 5.7 sintetizza tale linea d'indagine, evidenziando i risultati raggiunti e le questioni rimaste aperte. Le tecniche sviluppate permettono inoltre di affrontare e dare una risposta positiva ad un problema legato alla tematica classica degli spazi C-immersi e C^✻-immersi, posto da Arhangel'skii nel 1996. Precisamente, si dimostra (Teorema 3.2) che dati due spazi X,Y con Y localmente compatto, dato un sottinsieme denso A di X e una qualsiasi funzione continua f: A ➞ Y, esiste sempre una funzione $\tilde f$: X ➞ Y che estende f ed è continua localmente in ogni punto a di A (in realtà, il risultato ottenuto risponde alla questione di Arhangel'skii in maniera più generale, dato che nella formulazione originaria di quest'ultima si considerava soltanto il caso in cui Y fosse la retta reale). Infine, nell'ultimo paragrafo dell'articolo si torna all'ottica "classica'' delle estensioni di funzioni che risultino essere continue su tutti i punti dello spazio X; precisamente, definendo una coppia (X,Y) di spazi topologici come "fortemente buona" quando ogni funzione continua da un sottospazio di X a Y si estende ad una funzione continua da X a Y, si cerca di determinare quali siano gli spazi X tali che la coppia (X,Y) sia fortemente buona per ogni Y appartenente ad una certa classe di spazi topologici. Il risultato principale (Teorema 7.5) afferma che uno spazio T_1 X è tale che la coppia (X,Y) è fortemente buona per ogni spazio compatto e metrizzabile Y, se e solo se X è normale ed ereditariamente estremamente sconnesso. È da notare che il precedente risultato non è più valido se si richiede che la coppia (X,Y) sia fortemente buona per ogni spazio metrizzabile (non necessariamente compatto) Y (vedi Proposizione 7.7); al contrario, viene lasciata aperta la questione se si possa eliminare la condizione di metrizzabilità sullo spazio Y (lasciando intatta quella di compattezza).