L'articolo affronta e generalizza, in un ambito astratto di teoria dei reticoli e di insiemi parzialmente ordinati, una delle caratteristiche ricorrenti delle topologie sugli iperspazi, vale a dire il fatto di poter essere ottenute come estremo superiore di una topologia "superiore'' e di una topologia "inferiore'' (vedi le relative definizioni nel §1 dell'articolo, dopo la Definizione 1.1); tale proprietà viene detta appunto decomponibilità. Questo tipo di approccio mette in risalto le strette connessioni della teoria degli iperspazi sia con la topologia generale, sia con diversi altri settori della matematica, come dimostra anche la varietà delle tecniche utilizzate nell'articolo (studio di tipo algebrico-combinatorio di particolari reticoli - vedi Proposizione 6.2 ed Esempio 6.3 -; introduzione di "coordinate virtuali" in R^2 - vedi Lemma 6.10 ed Esempio 6.11 -; studio di reticoli di funzioni continue, tramite il lemma di Urysohn - vedi Esempio 6.4 -; ecc.). Uno dei temi principali dell'articolo è quello dell'unicità della decomposizione, in particolare per quanto riguarda alcune delle più note topologie sugli iperspazi. Ad esempio, il problema di stabilire se esiste - almeno per qualche spazio topologico X - una topologia inferiore μ sull'iperspazio di X, tale che μ ≠ V^- e (V^+) ⋁ μ = (V^+) ⋁ (V^-) = V (dove V^+, V^- e V indicano, rispettivamente, la topologia di Vietoris superiore, inferiore e globale) è rimasto a lungo una questione aperta fra gli esperti del settore. Nell'articolo viene ottenuto un risultato generale valido per topologie definite su un insieme parzialmente ordinato S (Teorema 8.4). Applicando tale risultato al caso in cui S sia l'iperspazio di uno spazio topologico X, otteniamo la non unicità della decomposizione per le topologie di Vietoris, Hausdorff, Wijsman e per la topologia localmente finita, nel caso in cui lo spazio base sia T_2 ed abbia almeno due punti; si ottiene inoltre la non unicità della decomposizione anche per la topologia di Fell, nel caso in cui lo spazio base possieda almeno un aperto non vuoto a chiusura compatta (tali risultati risultano dalla combinazione della Proposizione 14.1 e del Teorema 14.2). Nel caso invece in cui X sia regolare e tale che ogni compatto abbia parte interna vuota, la topologia di Fell risulta essere unicamente decomponibile (Proposizione 14.6); alla luce dei risultati precedenti, possiamo considerare questa situazione piuttosto eccezionale. Il teorema generale 8.4 si applica infine ad un altro caso molto naturale (non legato alla teoria degli iperspazi), ossia il prodotto di una famiglia di insiemi totalmente ordinati, dotato dell'ordine parziale componente per componente, e della topologia prodotto delle singole topologie dell'ordine (Proposizione 8.8). Il risultato di non unicità della decomposizione così ottenuto vale anche, ad esempio, per gli spazi R^n dotati della topologia euclidea.
Decomposition of topologies on lattices and hyperspaces.
COSTANTINI, Camillo;
1999-01-01
Abstract
L'articolo affronta e generalizza, in un ambito astratto di teoria dei reticoli e di insiemi parzialmente ordinati, una delle caratteristiche ricorrenti delle topologie sugli iperspazi, vale a dire il fatto di poter essere ottenute come estremo superiore di una topologia "superiore'' e di una topologia "inferiore'' (vedi le relative definizioni nel §1 dell'articolo, dopo la Definizione 1.1); tale proprietà viene detta appunto decomponibilità. Questo tipo di approccio mette in risalto le strette connessioni della teoria degli iperspazi sia con la topologia generale, sia con diversi altri settori della matematica, come dimostra anche la varietà delle tecniche utilizzate nell'articolo (studio di tipo algebrico-combinatorio di particolari reticoli - vedi Proposizione 6.2 ed Esempio 6.3 -; introduzione di "coordinate virtuali" in R^2 - vedi Lemma 6.10 ed Esempio 6.11 -; studio di reticoli di funzioni continue, tramite il lemma di Urysohn - vedi Esempio 6.4 -; ecc.). Uno dei temi principali dell'articolo è quello dell'unicità della decomposizione, in particolare per quanto riguarda alcune delle più note topologie sugli iperspazi. Ad esempio, il problema di stabilire se esiste - almeno per qualche spazio topologico X - una topologia inferiore μ sull'iperspazio di X, tale che μ ≠ V^- e (V^+) ⋁ μ = (V^+) ⋁ (V^-) = V (dove V^+, V^- e V indicano, rispettivamente, la topologia di Vietoris superiore, inferiore e globale) è rimasto a lungo una questione aperta fra gli esperti del settore. Nell'articolo viene ottenuto un risultato generale valido per topologie definite su un insieme parzialmente ordinato S (Teorema 8.4). Applicando tale risultato al caso in cui S sia l'iperspazio di uno spazio topologico X, otteniamo la non unicità della decomposizione per le topologie di Vietoris, Hausdorff, Wijsman e per la topologia localmente finita, nel caso in cui lo spazio base sia T_2 ed abbia almeno due punti; si ottiene inoltre la non unicità della decomposizione anche per la topologia di Fell, nel caso in cui lo spazio base possieda almeno un aperto non vuoto a chiusura compatta (tali risultati risultano dalla combinazione della Proposizione 14.1 e del Teorema 14.2). Nel caso invece in cui X sia regolare e tale che ogni compatto abbia parte interna vuota, la topologia di Fell risulta essere unicamente decomponibile (Proposizione 14.6); alla luce dei risultati precedenti, possiamo considerare questa situazione piuttosto eccezionale. Il teorema generale 8.4 si applica infine ad un altro caso molto naturale (non legato alla teoria degli iperspazi), ossia il prodotto di una famiglia di insiemi totalmente ordinati, dotato dell'ordine parziale componente per componente, e della topologia prodotto delle singole topologie dell'ordine (Proposizione 8.8). Il risultato di non unicità della decomposizione così ottenuto vale anche, ad esempio, per gli spazi R^n dotati della topologia euclidea.
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