L'articolo nasce con l'intento di affrontare una questione lasciata aperta in un mio precedente articolo con A. Marcone, vale a dire se ogni funzione continua definita su un sottospazio di uno spazio normale ed ereditariamente estremamente sconnesso X, e a valori in uno spazio compatto T_2 Y, possa essere estesa ad una funzione continua da X a Y (nell'articolo con Marcone, veniva fornita una risposta positiva nel caso in cui Y fosse metrizzabile). Combinando la Proposizione 1 e l'Esempio 4 del presente articolo, si ottiene in effetti una risposta negativa alla suddetta questione. L'indagine prosegue quindi cercando di stabilire se un esempio analogo al precedente si possa ottenere con l'ulteriore condizione che lo spazio X sia separabile. In questo caso, gli esempi presentati nell'articolo risultano essere soltanto consistenti. Dapprima viene descritta una costruzione (Esempio 5) che richiede l'assunzione $2^{\aleph_0}=2^{\aleph_1}$; successivamente, nel §2, viene sviluppato un tipo di forcing che permette di ottenere un modello di ZFC in cui vi è un'ampia varietà di esempi di questo tipo, nel senso che dato (nel modello) un qualsiasi spazio separabile e primo numerabile X avente cardinalità $\aleph_1$, è sempre possibile rafforzare la sua topologia in modo da ottenere un esempio con le proprietà desiderate (vedi Corollario 8). Infine, nell'ultimo paragrafo dell'articolo si mostra come sia possibile ottenere degli spazi non banali X (in particolare, degli X privi di punti isolati), tali che per ogni spazio compatto T_2 Y (senza condizioni di metrizzabilità) e per ogni funzione continua f da un sottospazio di X a Y, vi sia un'estensione continua della f da X a Y.
Examples concerning extensions of continuous functions.
COSTANTINI, Camillo;
2004-01-01
Abstract
L'articolo nasce con l'intento di affrontare una questione lasciata aperta in un mio precedente articolo con A. Marcone, vale a dire se ogni funzione continua definita su un sottospazio di uno spazio normale ed ereditariamente estremamente sconnesso X, e a valori in uno spazio compatto T_2 Y, possa essere estesa ad una funzione continua da X a Y (nell'articolo con Marcone, veniva fornita una risposta positiva nel caso in cui Y fosse metrizzabile). Combinando la Proposizione 1 e l'Esempio 4 del presente articolo, si ottiene in effetti una risposta negativa alla suddetta questione. L'indagine prosegue quindi cercando di stabilire se un esempio analogo al precedente si possa ottenere con l'ulteriore condizione che lo spazio X sia separabile. In questo caso, gli esempi presentati nell'articolo risultano essere soltanto consistenti. Dapprima viene descritta una costruzione (Esempio 5) che richiede l'assunzione $2^{\aleph_0}=2^{\aleph_1}$; successivamente, nel §2, viene sviluppato un tipo di forcing che permette di ottenere un modello di ZFC in cui vi è un'ampia varietà di esempi di questo tipo, nel senso che dato (nel modello) un qualsiasi spazio separabile e primo numerabile X avente cardinalità $\aleph_1$, è sempre possibile rafforzare la sua topologia in modo da ottenere un esempio con le proprietà desiderate (vedi Corollario 8). Infine, nell'ultimo paragrafo dell'articolo si mostra come sia possibile ottenere degli spazi non banali X (in particolare, degli X privi di punti isolati), tali che per ogni spazio compatto T_2 Y (senza condizioni di metrizzabilità) e per ogni funzione continua f da un sottospazio di X a Y, vi sia un'estensione continua della f da X a Y.
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