On the density of the space of continuous and uniformly continuous functions.

Dati due spazi metrici (X,d) e (Y,ρ), con (Y,ρ) connesso per archi, viene studiata la densità dello spazio di tutte le funzioni continue, e di quello di tutte le funzioni uniformemente continue, da (X,d) a (Y,ρ), entrambi dotati della metrica dell'estremo superiore. A tale scopo, un ruolo fondamentale viene svolto dal concetto di spazio metrico GTB (= totalmente limitato in senso generalizzato) e di spazio metrizzabile GK (= compatto in senso generalizzato), introdotti in un precedente articolo dell'autore in collaborazione con Alberto Barbati. Distinguendo opportunamente il caso in cui (X,d) sia o non sia GK, e il caso in cui (Y,ρ) sia o non sia GTB, viene determinata con esattezza la densità del primo dei due summenzionati spazi di funzioni, in relazione alla densità di (X,d) e a quella di (Y,ρ). Per quanto riguarda invece lo spazio delle funzioni uniformemente continue, è possibile unicamente stabilire una limitazione inferiore e una limitazione superiore per la sua densità, le quali combinate insieme forniscono comunque una stima piuttosto stringente. Nell'ultimo paragrafo dell'articolo, si dimostra con degli esempi che la stima in questione non può ridursi, in generale, ad un'uguaglianza né con la limitazione inferiore né con quella superiore precedentemente individuate.