Fractional Branching Processes

Lo studio di processi di tipo nascita-morte è molto importante nell'analisi di fenomeni fisici quali, ad esempio, la dinamica di popolazioni oppure la diffusione di epidemie, o ancora il susseguirsi delle scosse di assestamento nello studio dei terremoti. Modelli classici (eventualmente nella loro versione non lineare) sono per esempio il processo di pure nascite, di pure morti o di nascite-morti. Sfruttando l'apparato teorico del calcolo frazionario, notevolmente sviluppato negli ultimi anni, si è costruita un'intera classe di nuovi processi, sempre di tipo nascita-morte, la cui evoluzione è guidata da equazioni differenziali e alle differenze finite frazionarie. La struttura della tesi è la seguente: nel primo capitolo è delineata una panoramica dei modelli classici con una descrizione delle proprietà fondamentali e del comportamento dinamico. L'ultima sezione del capitolo è dedicata a una concisa descrizione del calcolo frazionario; tra le altre cose vengono definiti i concetti fondamentali di integrale frazionario e di derivata frazionaria, questa nelle due definizioni di Riemann-Liouville e Caputo. Utilizzando il calcolo frazionario, nei successivi capitoli 2, 3 e 4, vengono definiti e analizzati in dettaglio i processi frazionari di pure nascite non lineare, di pure morti non lineare, lineare e sublineare e il processo lineare di nascite-morti frazionario. Nel capitolo 5 viene proseguito lo studio della versione lineare del processo di pure nascite frazionario (Yule-Furry frazionario) con la determinazione della distribuzione dei tempi inter nascita, e di alcune convenienti rappresentazioni; sono inoltre presentati i risultati di alcune simulazioni per facilitare lo studio della dinamica del processo e alcune considerazioni di tipo inferenziale (stimatore dei momenti) per la stima del tasso di nascita e dell'ordine frazionario di differenziazione. Nell'ultimo capitolo vengono proposte alcune estensioni dei modelli studiati nei capitoli precedenti tramite subordinazione con tempi aleatori, permettendo quindi di introdurre un'ulteriore fonte di variabilità. Vengono inoltre derivate alcune rappresentazioni per i processi non lineari subordinati di pure nascite e derivate relazioni funzionali che coinvolgono alcune funzioni speciali quali, per esempio, quella di Mittag-Leffler.